Question

如图，AB是⊙O的直径，C、D在⊙O上，连结BC，过D作PF∥AC交AB于E，交⊙O于F，交BC于点G，且∠BPF＝∠ADC．

（1）判断直线BP与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若⊙O的半径为，AC＝2，BE＝1，求BP的长．

Answer

（1）相切；（2）2

【解析】

试题分析：（1）先根据圆周角定理可得∠ACB＝90即AC⊥BC，根据平行线的性质可得∠CAB＝∠PEB，由∠ADC＝∠ABC，∠BPF＝∠ADC可得∠ABC＝∠BPF，即可证得△ABC∽△EPB，根据相似三角形的性质结合切线的判定方法即可证得结果；

（2）在Rt△ABC中根据勾股定理可得BC＝4，再根据相似三角形的性质即可求得结果.

（1）∵AB是⊙O的直径

∴∠ACB＝90即AC⊥BC．

∵PF∥AC，

∴∠CAB＝∠PEB．

∵∠ADC＝∠ABC，∠BPF＝∠ADC，

∴∠ABC＝∠BPF．

∴△ABC∽△EPB    

∴∠PBE＝∠ACB＝90°，

∴PB⊥OB． 

∴BP与⊙O相切． 

（2）∵Rt△ABC中，AC＝2，AB＝2，

∴BC＝4． 

∵△ABC∽△EPB，

∴＝．

∴＝，

∴BP＝2．

考点：圆周角定理，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，切线的判定，勾股定理