Question

如图，AB为⊙O的直径，AC为⊙O的弦，AD平分∠BAC，交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E．

（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若AE＝8，⊙O的半径为5，求DE的长．

Answer

（1）直线DE与⊙O相切；（2）4

【解析】

试题分析：1）直线DE与⊙O相切．  

理由如下：

连接OD．

∵AD平分∠BAC，

∴∠EAD＝∠OAD．

∵OA＝OD，

∴∠ODA＝∠OAD．

∴∠ODA＝EAD．

∴EA∥OD．  

∵DE⊥EA，

∴DE⊥OD．

又∵点D在⊙O上，∴直线DE与⊙O相切．

（2）方法一：

如图1，作DF⊥AB，垂足为F．

∴∠DFA＝∠DEA＝90°．

∵∠EAD＝∠FAD，AD＝AD，

∴△EAD≌△FAD．  

∴AF＝AE＝8，DF＝DE． 

∵OA＝OD＝5，∴OF＝3．

在Rt△DOF中，DF＝＝4．

∴DE＝DF＝4． 

方法二：

如图2，连接DB．

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°．

∴∠ADB＝∠AED．

∵∠EAD＝∠DAB，

∴△EAD∽△DAB．

∴．

即．解得．

在Rt△ADE中，＝4． 

方法三：

如图3，作OF⊥AD，垂足为F．

∴AF＝AD，∠AFO＝∠AED．

∵∠EAD＝∠FAO，

∴△EAD∽△FAO．

∴

即．解得．

在Rt△ADE中，DE＝＝4

考点：圆