Question

如图，在平面直角坐标系中，已知点坐标为（2，4），直线与轴相交于点，连结，抛物线从点沿方向平移，与直线交于点，顶点到点时停止移动．

（1）求线段所在直线的函数解析式；

（2）设抛物线顶点的横坐标为，当为何值时，线段最短；

（3）当线段最短时，相应的抛物线上是否存在点，使△的面积与△的面积相等，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）；（2）当时，PB最短；（3）抛物线上存在点，

使△与△的面积相等.

【解析】

试题分析：【解析】
（1）设所在直线的函数解析式为，

∵（2，4），∴, ,

∴所在直线的函数解析式为. 2分

（2）∵顶点M的横坐标为，且在线段上移动，

∴（0≤≤2）.

∴顶点的坐标为(,).

∴抛物线函数解析式为

∴当时，（0≤≤2）.

∴， 又∵0≤≤2，

∴当时，PB最短.         6分

（3）当线段最短时，此时抛物线的解析式为.

假设在抛物线上存在点，使. 设点的坐标为（，）.

①当点落在直线的下方时，过作直线//，交轴于点，

∵，，

∴，∴，∴点的坐标是（0，）.

∵点的坐标是（2，3），∴直线的函数解析式为.

∵，∴点落在直线上.

∴=.解得，即点（2，3）.

∴点与点重合.

∴此时抛物线上不存在点，使△与△的面积相等.  7分

②当点落在直线的上方时，

作点关于点的对称称点，过作直线//，交轴于点，

∵，∴，

∴、E、D的坐标分别是（0，1），（2，5），

∴直线函数解析式为.

∵，∴点落在直线上.

∴=.

解得：，.

代入，得，.

∴此时抛物线上存在点，… 9分

使△与△的面积相等.  

综上所述，抛物线上存在点、

使△与△的面积相等. 10分

考点：抛物线