Question

如图所示，现有一张边长为6的正方形纸片，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP．

（1）求证：∠APB=∠BPH；

（2）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）通过证明PBC=BPH，APB=PBC来得出∠APB=∠BPH；（2）存在，当x=3时，S有最小值13.5

【解析】

试题分析：【解析】
（1）∵PE=BE，

∴EBP=EPB．

又∵EPH=EBC=90°，

∴EPH-EPB=EBC-EBP．

即PBC=BPH．

又∵AD∥BC，

∴APB=PBC．

∴APB=BPH．

（2）过F作FM⊥AB，垂足为M，则.

又EF为折痕，∴EF⊥BP.

∴，

∴．

又∵A=EMF=90°，

∴△EFM≌△BPA．

∴=x．

∴在Rt△APE中，．

解得，．

∴．

又四边形PEFG与四边形BEFC全等，

∴．

即：．

配方得，，∴当x=3时，S有最小值13.5．

考点：四边形与二次函数