Question

已知关于x的一元二次方程x²(2k+3)x+k²+3k+2=0

（1）试判断上述方程根的情况；

（2）若以上述方程的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数的图象上，求满足条件的m的最小值；

（3）已知△ABC的两边AB、AC的长是关于上述方程的两个实数根，BC的长为5．

①当k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形?

②当k为何值时，△ABC是等腰三角形?请求出此时△ABC的周长．

Answer

（1）有两个不相等的实数根；（2）；（3）①2或3；②k=3或4，周长为14和16

【解析】

试题分析：（1）先由题意求得根的判别式△的值，即可作出判断；

（2）设方程x2(2k+3)x+k2+3k+2=0的两个根为，，根据题意得．又由一元二次方程根与系数的关系得，，从而可得，再根据二次函数的性质即可求得结果；                      

（3）①由题意可得x1="k" +1，x2=k+2．不妨设AB=k+1，AC=k+2．再根据勾股定理即可列方程求解；                                       

②分AC=BC=5与AB=BC=5两种情况，结合等腰三角形的性质求解即可.

（1）由方程x2(2k+3)x+k2+3k+2=0，得b24ac=1，方程有两个不相等的实数根；

（2）设方程x2(2k+3)x+k2+3k+2=0的两个根为，，根据题意得．

又由一元二次方程根与系数的关系得， 

，                               

所以，当k＝时,m取得最小值；                      

（3）①x1="k" +1，x2=k+2．不妨设AB=k+1，AC=k+2．

斜边BC=5时，有AB2+AC2=BC2，即(k+1)2+(k+2)2=25                                                   

解得k1=2，k2=5(舍去)                                

当k="2" 时，△ABC是直角三角形；                         

②AB=k+1，AC=k+2，BC=5,  

由（1）知AB≠AC          

故有两种情况：

（Ⅰ）当AC=BC=5时，k+2=5，k=3．

∵5、5、4能组成三角形，

△ABC的周长为5+5+k+1=14        

（Ⅱ）当AB=BC=5时，k+1=5，k=4．

∵5、5、6能组成三角形，

△ABC的周长为5+5+k+2=16．

故△ABC的周长分别是14和16．

考点：一元二次方程的应用