Question

若m为自然数，且4<m<40，且方程x²－2(2m－3)x＋4m²－14m＋8＝0的两根均为整数，求m的值．

Answer

m＝12和m＝24

【解析】

试题分析：方程有整数根，则根的判别式就为完全平方数，所以就是求使△为完全平方数的m的值，求得后再代入方程检验即可．

∵a=1，b=-2（2m-3），c=4m2-14m+8，

∴△=b2-4ac=4（2m-3）2-4（4m2-14m+8）=4（2m+1）．

∵方程有两个整数根，

∴△=4（2m+1）是一个完全平方数，

所以2m+1也是一个完全平方数．

∵4＜m＜40，

∴9＜2m+1＜81，

∴2m+1=16，25，36，49或64，

∵m为整数，

∴m=12或24．

代入已知方程，

得x=16，26或x=38，52．

综上所述m为12，或24．

考点：根的判别式，解一元二次方程