Question

已知⊙的半径为1，以为原点，建立如图所示的直角坐标系．有一个正方形，顶点的坐标为（，0），顶点在轴上方，顶点在⊙上运动．

（1）当点运动到与点、在一条直线上时，与⊙相切吗？如果相切，请说明理由，并求出所在直线对应的函数表达式；如果不相切，也请说明理由；

（2）设点的横坐标为，正方形的面积为，求出与的函数关系式，并求出的最大值和最小值．

Answer

（1）CD与⊙O相切 （2），S的最大值为，S的最小值为

【解析】

试题分析：（1）因为A、D、O在一直线上，，

所以∠COD=90°，所以CD是⊙O的切线 

CD与⊙O相切时，有两种情况：

① 点在第二象限时（如图①），

设正方形ABCD的边长为a，

则，

解得，或（舍去）

过点D作DE⊥OB于E，则Rt△ODE≌Rt△OBA，

所以，

所以DE=，OE=，

所以点D1的坐标是（-，）

所以OD所在直线对应的函数表达式为 

②切点在第四象限时（如图②），

设正方形ABCD的边长为b，则，

解得（舍去），或 

过点D作DF⊥OB于F，则Rt△ODF∽Rt△OBA，

所以，

所以OF=，DF=，

所以点D2的坐标是（，-）        

所以OD所在直线对应的函数表达式为

（2）过点D作DG⊥OB于G，连接BD、OD，

则

= 

所以 

因为，所以S的最大值为，

S的最小值为

考点：函数图象与几何的结合