Question

如图1，二次函数的图象为抛物线，交x轴于A、B两点，交y轴于C点．其中AC=，BC=，．

（1）求二次函数的解析式；

（2）若P点为抛物线上一动点且在x轴下方运动，当以P为圆心，1为半径的⊙P与直线BC相切时，求出符合条件的P点横坐标；

（3）如图2，若点E从点A出发，以每秒3个单位的速度沿着AB向点B匀速运动，点F从点A出发，以每秒个单位的速度沿着AC向点C匀速运动．两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．过点E作AB的垂线交抛物线于点E′，作点F关于直线的对称点F′．设点E的运动时间为t（s），点F′ 能恰好在抛物线吗？若能，请直接写出t的值；若不能，请说明理由．

    

图1                       图2                     

Answer

（1）；（2）x=；（3） 

【解析】

试题分析：（1）由可设，，再结合AC=根据勾股定理即可求得x的值，从而得到AO、CO的长，即可得到点A、点C的坐标，再根据勾股定理求的OB的长，即可得到点B的坐标，最后根据待定系数法即可求得结果；

（2）根据（1）中的函数关系式结合图形特征可得符合条件的情况有三种，分别根据直线与圆的位置关系分析即可；

（3）分别表示出点E与点F的运动路程，即可表示出点E′、点F′的坐标，再结合（1）中的函数关系式即可作出判断.

（1）由可设，

∵，AC=

∴，解得

∴，

∴C点坐标为（0，），A点坐标为（-3，0）

∵BC=

∴

∴B点坐标为（6，0）

把（-3，0），（6，0），（0，）代入得；

（2）当⊙P与直线BC第一次相切时，

当⊙P与直线BC第二次相切时，

当⊙P与直线BC第三次相切时，；

（3）.

考点：二次函数的综合题