Question

如图所示，点A，F，C，D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB=DE，∠A=∠D，AF=DC．

 

（1）求证：四边形BCEF是平行四边形；

（2）若∠ABC=90°，AB=4，BC=3，当AF为何值时，四边形BCEF是菱形．

Answer

（1）由AF=DC可得AC=DF，再有AB=DE，∠A=∠D即可证得△ABC≌DEF，即得BC=EF，∠ACB=∠DFE，则可得BC∥EF，从而证得四边形BCEF是平行四边形；（2）

【解析】

试题分析：（1）由AF=DC可得AC=DF，再有AB=DE，∠A=∠D即可证得△ABC≌DEF，即得BC=EF，∠ACB=∠DFE，则可得BC∥EF，从而证得四边形BCEF是平行四边形；

（2）连接BE，交CF与点G，由四边形BCEF是平行四边形，可知当BE⊥CF时，四边形BCEF是菱形，先根据勾股定理求得AC的长，证得△ABC∽△BGC，根据相似三角形的性质可得CG的长，从而可以求得结果.

（1）∵AF=DC，

∴AF+FC=DC+FC，即AC=DF

在△ABC和△DEF中，

，

∴△ABC≌DEF（SAS），

∴BC=EF，∠ACB=∠DFE，

∴BC∥EF，

∴四边形BCEF是平行四边形；

（2）连接BE，交CF与点G，

∵四边形BCEF是平行四边形，

∴当BE⊥CF时，四边形BCEF是菱形，

∵∠ABC=90°，AB=4，BC=3，

∴AC==5，

∵∠BGC=∠ABC=90°，∠ACB=∠BCG，

∴△ABC∽△BGC，

∴=，即=，

∴CG=，

∵FG=CG，

∴FC=2CG=，

∴AF=AC﹣FC=5﹣=，

∴当AF=时，四边形BCEF是菱形．

考点：全等三角形的判定和性质，平行四边形、菱形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质