Question

如图，BC是⊙O的直径，A是弦BD延长线上一点，切线DE平分AC于E。

（1）求证：AC是⊙O的切线；

（2）若AD:DB=3:2，AC=15，求⊙O的直径。

Answer

（1）连接OD、CD，先根据切线的性质得到OD⊥DE，即∠1+∠2=90°，再根据圆周角定理可得∠BDC=90°，再结合E为AC的中点，根据直角三角形的性质可得DE=CE=AE=AC，即得∠2=∠3，根据元的基本性质可得∠1=∠4，即得∠3+∠4=∠1+∠2=90°，从而证得结论；（2）

【解析】

试题分析：（1）连接OD、CD，先根据切线的性质得到OD⊥DE，即∠1+∠2=90°，再根据圆周角定理可得∠BDC=90°，再结合E为AC的中点，根据直角三角形的性质可得DE=CE=AE=AC，即得∠2=∠3，根据元的基本性质可得∠1=∠4，即得∠3+∠4=∠1+∠2=90°，从而证得结论；  

（2）分别证得△ACD∽△ABC与△ACD∽△BCD，根据相似三角形的性质可得，，由AD:DB=3:2可设AD=3k，DB=2k，则AB=5k，即可求得结果.

（1）连接OD、CD

∵DE是⊙O的切线，切点为D

∴OD⊥DE于D

∴∠ODE=90°，即∠1+∠2=90°；

∵BC为⊙O的直径

∴∠BDC=90°

∴∠ADC=90°

∵E为AC的中点

∴DE=CE=AE=AC

∴∠2=∠3

∵⊙O中，OC=OD

∴∠1=∠4

∴∠3+∠4=∠1+∠2=90°

∴OC⊥AC于C

∴AC是⊙O的切线；

（2）∵∠ACD=∠BDC=90°，∠A=∠A

∴△ACD∽△ABC

同理：△ACD∽△BCD

∴①

②

∵AD:DB=3:2

∴设AD=3k，DB=2k，则AB=5k

∴①

②

∴.

考点：圆的综合题