Question

如图，AB是⊙O的直径，CB、CD是⊙O的两条切线，D为切点，AC与⊙O交于点E，连接BE．

（1）求证：△BEC∽△ABC；

（2）若CE＝4，AE＝5，求切线CD的长．

Answer

（1）根据圆周角定理及切线的性质可得∠4＝90°，∠1＝90°，即可得到∠2＝∠1，再结合公共角∠3即可证得结论；（2）6

【解析】

试题分析：（1）根据圆周角定理及切线的性质可得∠4＝90°，∠1＝90°，即可得到∠2＝∠1，再结合公共角∠3即可证得结论；

（2）先求得AC的长，再根据相似三角形的性质即可求得CB的长，最后根据切线长定理即可求得结果.

（1）如图：

∵AB是⊙O的直径，CB是⊙O的切线，

∴ ∠4＝90°，∠1＝90°．

∴ ∠2＝∠4＝90°．

∴ ∠2＝∠1．   

又∵ ∠3＝∠3

∴ △BEC∽△ABC；

（2）∵AC＝CE＋AE＝4＋5＝9

∵ △BEC∽△ABC，

∴．

∴ CB2＝CE·AC＝4×9＝36．

∴ CB＝6

∵ CB、CD是⊙O的两条切线

∴ CD＝CB＝6．

考点：圆周角定理，切线的性质，相似三角形的判定和性质，切线长定理