Question

阅读下面材料：

问题：如图①，在△ABC中， D是BC边上的一点，若∠BAD=∠C=2∠DAC=45°，DC=2．求BD的长．

小明同学的解题思路是：利用轴对称，把△ADC进行翻折，再经过推理、计算使问题得到解决．

（1）请你回答：图中BD的长为   ；

（2）参考小明的思路，探究并解答问题：如图②，在△ABC中，D是BC边上的一点，若∠BAD=∠C=2∠DAC=30°，DC=2，求BD和AB的长．

            

图①                                   图②

Answer

（2）BD=2；

【解析】

试题分析：【解析】
（1）折叠△ADC得△ACE。则AD=AE

则可证∠DAE=2∠DAC=45°=∠BAD，又因为在△ABC中，可证∠B=∠ADB=67.5°。所以AB=AD。

则证出△ABD≌△AED（SAS），所以可得BD=DE。且∠ADB=∠ADE=67.5°。所以∠EDC=180°-2∠ADB=45°。

所以Rt△DCE为等腰直角三角形。因为CD=2，通过勾股定理可求DE=

所以.           

（2）把△ADC沿AC翻折，得△AEC，连接DE，

∴△ADC≌△AEC.

∴∠DAC=∠EAC，∠DCA=∠ECA， DC＝EC.

∵∠BAD=∠BCA=2∠DAC=30°，

∴∠BAD=∠DAE=30°，∠DCE=60°.

∴△CDE为等边三角形.

∴DC＝DE.

在AE上截取AF＝AB，连接DF，

∴△ABD≌△AFD.

∴BD＝DF.

在△ABD中，∠ADB=∠DAC＋∠DCA=45°，

∴∠ADE=∠AED =75°，∠ABD =105°.

∴∠AFD =105°.

∴∠DFE=75°.

∴∠DFE=∠DEF.

∴DF＝DE.  

∴BD＝DC＝2. 

作BG⊥AD于点G，

∴在Rt△BDG中，.  

∴在Rt△ABG中，.                                  

考点：全等三角形