Question

（9分）在平面直角坐标系xOy中，点B(0，3)，点C是x轴正半轴上一点，连结BC，过点C作直线CP∥y轴.

（1）若含45°角的直角三角形如图所示放置．其中，一个顶点与点O重合，直角顶点D在线段BC上，另一个顶点E在CP上．求点C的坐标；

（2）若含30°角的直角三角形一个顶点与点O重合，直角顶点D在线段BC上，另一个顶点E在CP上，求点C的坐标．

Answer

(1) C(3，0) ,（2）（，0） (3,0).

【解析】

试题分析：由题意知，求C点坐标很难，所以要做辅助线，结合平面直角坐标系的性质求得，在（2）中由已知得有两种情况，【解析】
（1）过点D分别作DG⊥x轴于G，

DH⊥PC于H.   1分；

∴，

∵△ODE是等腰直角三角形，

∴OD=DE，，

∵CP∥y轴，

∴四边形DGCH是矩形，     2分；

∴，DH=GC.

∴，

∴，

∴△ODG≌△EDH.          3分；

∴DG=DH.

∴DG=GC，

∴△DGC是等腰直角三角形，

∴，      4分；

∴tan，

∴OC=OB="3."

∴点C的坐标为（3,0）     5分；

分两种情况：

当时，

过点D分别作DG⊥x轴于G，

DH⊥PC于H.  

∴，

∵△ODE是直角三角形，

∴tan，

，

∵CP∥y轴，

∴四边形DGCH是矩形，

∴，DH=GC.

∴，

∴，

∴△ODG∽△EDH.         6分；

∴.

∴，

∴tan，

∴，

∴tan，

∴OC=.           7分；

当时，

过点D分别作DG⊥x轴于G，

DH⊥PC于H.  

∴，

∵△ODE是直角三角形，

∴tan，

，

∵CP∥y轴，

∴四边形DGCH是矩形，

∴，DH=GC.

∴，

∴，

∴△ODG∽△EDH.        8分；

∴.

∴，

∴tan，

∴，

∴tan，

∴OC=.         9分.

∴点C的坐标为（,0）、（,0）.

考点：平面直角坐标系的定义，直角三角形的定义，三角函数定义，相似三角形的判定及性质。