Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，CB＝12，AD是△ABC的角平分线，过A、C、D三点的圆与斜边AB交于点E，连接DE。

（1）求证：AC＝AE；

（2）求△ACD外接圆的半径。

Answer

（1）见解析；（2）

【解析】

试题分析：（1）由∠ACB＝90°可得AD为直径，再根据角平分线的性质可得弧CD=弧DE，即得弧AC=弧AE，从而得到结果；

（2）先根据勾股定理求得AB的长，即可求得BE的长，根据圆周角定理可得∠AED=∠ACB=90°，再结合公共角∠B即可证得△ABC∽△DBE，根据相似三角形的性质即可求得结果.

（1）∵∠ACB＝90°

∴AD为直径     

又∵AD是△ABC的角平分线

∴弧CD=弧DE

∴弧AC=弧AE

∴AC＝AE；

（2）∵AC=5，CB=12，

∴AB=

∵AE=AC=5

∴BE=AB-AE=13-5=8

∵AD是直径

∴∠AED=∠ACB=90°

∵∠B=∠B

∴△ABC∽△DBE

∴

∴ DE＝

∴AD＝

∴△ACD外接圆的半径为.

考点：角平分线的性质，勾股定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质