Question

如图：分别取等边三角形ABC各边的中点D、E、F，得△DEF.若△ABC的边长为a.

（1）△DEF与△ABC相似吗？如果相似，相似比是多少？

（2）分别求出这两个三角形的面积；

（3）这两个三角形的面积比与边长之比有什么关系吗？

Answer

（1）相似，相似比为；

（2）△ABC的面积为AB·AE=a·

△DEF的面积为·a·a2；

（3）则这两个三角形的面积比等于边长之比的平方.

【解析】

试题分析：（1）根据三角形中位线定理可得DE=a，EF=DF=a，即可得到△DEF是等边三角形，从而得到结果；

（2）根据等边三角形的性质结合三角形的面积公式即可求得结果；

（3）根据这两个三角形的面积比与边长之比的值即可判断.

（1）根据三角形中位线定理得DE=a，EF=DF=a

所以△DEF是等边三角形，

所以△DEF与△ABC相似，相似比为；

（2）△ABC的面积为AB·AE=a·

△DEF的面积为·a·a2；

（3）S△DEF∶S△ABC=a2∶a2=∶1=1∶4

则这两个三角形的面积比等于边长之比的平方.

考点：三角形中位线定理，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质