Question

已知:AB是⊙O中长为4的弦,P是⊙O上一动点,cos∠APB=, 问是否存在以A、P、B为顶点的面积最大的三角形?若不存在,试说明理由;若存在,求出这个三角形的面积.

Answer

存在，4

【解析】

试题分析：由题意可知AB不是直径，故取优弧的中点为P点,过P作PD⊥AB于D,

则PD是圆上所有的点中到AB 距离最大的点.当P为优弧的中点时,△APB的面积最大,连接PA、PB, 则等腰三角形APB即为所求,由作法知:圆心O必在PD上,连接AO,则由垂径定理得AD=AB=2.又∠AOD=∠1+∠2,可得∠AOD=∠2+∠1=∠2+∠3=∠APB,即可得到cos∠AOD的值，设OD=x,OA=3x,则即可表示出AD，再根据三角形的面积公式即可求得结果.

∵AB不是直径(否则∠APB=90°,而由cos∠APB= 知∠APB<90°,矛盾)

∴取优弧的中点为P点,过P作PD⊥AB于D,

则PD是圆上所有的点中到AB 距离最大的点.

∵AB的长为定值,

∴当P为优弧的中点时,△APB的面积最大,连接PA、PB,

则等腰三角形APB即为所求.

由作法知:圆心O必在PD上,如图所示,连接AO,则由垂径定理得AD=  AB="2."

又∠AOD=∠1+∠2,而∠2=∠3,∠1=∠2

故∠AOD=∠2+∠1=∠2+∠3=∠APB,即cos∠AOD= ,

∴cos∠AOD=,设OD=x,OA=3x,则AD= ,

即="2" ,故x=,

∴AO=3x=,OD=x=,

∴PD=OP+OD=OA+OD=+=2,

∴S△APB=AB·PD=4.

考点：垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质