Question

如图,已知△ABC的一个外角∠CAM=120°,AD是∠CAM的平分线,且AD与△ABC的外接圆交于F,连接FB、FC,且FC与AB交于E.

(1)判断△FBC的形状,并说明理由.

(2)请给出一个能反映AB、AC和FA的数量关系的一个等式,并说明你给出的等式成立.

Answer

(1)△FBC是等边三角形;(2)AB=AC+FA

【解析】

试题分析：(1)先求得∠BAF=∠MAD=∠DAC=60°=180°-120°=∠BAC,即可得到结果；

(2)在AB上取一点G,使AG=AC,即可得到△AGC是等边三角形,再有∠CBG=∠CFA,BC=FC可证得△BCG≌△FCA,再根据全等三角形的性质即可得到结果.

(1)∠BAF=∠MAD=∠DAC=60°=180°-120°=∠BAC,

∴∠BFC=∠BAC=60°,∠BCF=∠BAF=60°,

∴△FBC是等边三角形.

(2)在AB上取一点G,使AG="AC,"

则由于∠BAC=60°,故△AGC是等边三角形,

从而∠BGC=∠FAC=120°,

又∠CBG=∠CFA,BC=FC,

故△BCG≌△FCA,

从而BG=FA,又AG=AC,

∴AC+FA=AG+BG=AB.

考点：角平分线的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质