Question

在矩形ABCD中，点P在AD上，AB=2，AP=1，将三角板的直角顶点放在点P处，三角板的两直角边分别能与AB、BC边相交于点E、F，连接EF．

（1）如图，当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合，求此时PC的长；

（2）将三角板从（1）中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E与点A重合时停止，在这个过程中，请你观察、探究并解答：

①∠PEF的大小是否发生变化？请说明理由；

②直接写出从开始到停止，线段EF的中点所经过的路线长．

Answer

（1）PC=2；（2）①∠PEF的大小不变．②

【解析】

试题分析：（1）先根据勾股定理求得PB的长，再利用互余关系证得△APB∽△DCP，最后根据相似三角形的性质及即可求得结果；

（2）①过F作FG⊥AD，垂足为G，同（1）的方法证明△APB∽△DCP，得相似比，再利用锐角三角函数的定义求值；

②如图3，画出起始位置和终点位置时，线段EF的中点O1，O2，连接O1O2，线段O1O2即为线段EF的中点经过的路线长，也就是△BPC的中位线．

（1）在矩形ABCD中，，AP=1，CD=AB=2，

∴PB=，．

∵，

∴．

∴．

∴ △ABP∽△DPC．

∴，即．

∴PC=2；

（2）①∠PEF的大小不变．

理由：过点F作FG⊥AD于点G．

∴四边形ABFG是矩形

∴

∴GF=AB=2，

∵

∴

∴

∴ △APE∽△GFP

∴

∴在Rt△EPF中，tan∠PEF=

即tan∠PEF的值不变

∴∠PEF的大小不变．

②如图所示：

设线段EF的中点为O，连接OP，OB，

∵在Rt△EPF中，OP=EF，

在Rt△EBF中，OB=EF，

∴OP=OB=EF，

∴O点在线段BP的垂直平分线上，

∴线段EF的中点经过的路线长为

考点：相似三角形的判定与性质，矩形的性质，解直角三角形