Question

学完“证明（二）”一章后，老师布置了一道思考题：如图，点M、N分别在正三角形ABC的边BC．CA上，且BM=CN，AM、BN交于点Q。求证：∠BQM=60°。

（1）请你完成这道思考题；

（2）做完（1）后，同学们在老师的启发下进行了反思，提出了许多问题，如：

①若将题中“BM=CN”与“∠BQM=60°”的位置交换，得到的是否仍是真命题?

②若将题中的点M，N分别移动到BC，CA的延长线上，是否仍能得到∠BQM＝60°？

③若将题中的条件“点M，N分别在正三角形ABC的BC、CA边上”改为“点M，N分别在正方形ABCD的BC，CD边上”，是否仍能得到∠BQM＝60°？对②，③进行证明。（自己画出对应的图形）

Answer

（1）见解析；（2）①是；②是；③否

【解析】

试题分析：（1）根据正三角形的性质可得AB=BC，∠ABM＝∠BCN，再结合BM=CN根据“SAS”可证得△ABM△BCN，可得∠BAM=∠CBN，即可求得结果；      

（2）①仍为真命题；②易证△BAN△ACM（SAS），可得∠1＝∠2，∠N＝∠M，即可求得结果；

③易证△ABM△BCN（SAS），可得∠1＝∠2，又∠2+∠3＝90°，即得∠BQM＝∠1+∠3＝∠2+∠3＝90°.

（1）∵正三角形ABC

∴AB=BC，∠ABM＝∠BCN

∵BM=CN

∴△ABM△BCN（SAS）

∴∠BAM=∠CBN，

∴∠BQM=∠BAQ+∠ABQ=∠MBQ+∠ABQ=60°；     

（2）①仍为真命题；    

②如图：

易证△BAN△ACM（SAS）

∴∠1＝∠2，∠N＝∠M

又∠BQM＝∠N+∠QAN＝∠N+∠2＝∠M+∠2＝∠ACB＝60°；

③如图

此时不能得到∠BQM＝60°，而有∠BQM＝90°

易证△ABM△BCN（SAS）

∴∠1＝∠2，又∠2+∠3＝90°，

∴∠BQM＝∠1+∠3＝∠2+∠3＝90°.

考点：等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质