Question

如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与轴交于点A，与轴交于点B，与直线OC：交于点C．

（1）若直线AB解析式为，

①求点C的坐标；

②求△OAC的面积．

（2）如图2，作的平分线ON，若AB⊥ON，垂足为E， OA＝4，P、Q分别为线段OA、OE上的动点，连结AQ与PQ，试探索AQ＋PQ是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由．

Answer

（1）①C（4，4）；②12；（2）存在，3

【解析】

试题分析：（1）①联立两个函数式，求解即可得出交点坐标，即为点C的坐标；

②欲求△OAC的面积，结合图形，可知，只要得出点A和点C的坐标即可，点C的坐标已知，利用函数关系式即可求得点A的坐标，代入面积公式即可；

（2）在OC上取点M，使OM=OP，连接MQ，易证△POQ≌△MOQ，可推出AQ+PQ=AQ+MQ；若想使得AQ+PQ存在最小值，即使得A、Q、M三点共线，又AB⊥OP，可得∠AEO=∠CEO，即证△AEO≌△CEO（ASA），又OC=OA=4，利用△OAC的面积为6，即可得出AM=3，AQ+PQ存在最小值，最小值为3．

（1）①由题意， 

解得所以C（4，4）；

②把代入得，，所以A点坐标为（6，0），

所以；

（2）由题意，在OC上截取OM＝OP，连结MQ

∵OQ平分∠AOC，

∴∠AOQ=∠COQ，

又OQ=OQ，

∴△POQ≌△MOQ（SAS），

∴PQ=MQ，

∴AQ+PQ=AQ+MQ，

当A、Q、M在同一直线上，且AM⊥OC时，AQ+MQ最小．

即AQ+PQ存在最小值．

∵AB⊥ON，所以∠AEO=∠CEO，

∴△AEO≌△CEO（ASA），

∴OC=OA=4，

∵△OAC的面积为12，所以AM=12÷4=3，

∴AQ+PQ存在最小值，最小值为3．

考点：一次函数的综合题