Question

如图，正方形ABCD中，P为对角线BD上一点（P点不与B、D重合），PE⊥BC于E，PF⊥DC于F，连接EF，猜想AP与EF的关系并证明你的结论.

Answer

AP⊥EF，AP=EF

【解析】

试题分析：

【解析】
AP⊥EF，AP=EF

方法1：延长FP交AB于M

延长AP交EF于N

可证四边形MFCB为矩形

得MF=BC

四边形ABCD为正方形

得AB=BC

∴MF=AB

可证PM=BM

∴AM=PF

可证△AMP≌△FPE得AP=EF

得∠PFE=∠MAP

∵∠FPN=∠MPA

∴∠PNF=∠AMP=90°

∴AP⊥EF

方法2：连接PC交EF于O

证四边形PFCE为矩形

得PC=EF

证△APD≌△CPD

得PC=AP

∴EF=AP

∵四边形PFCE为矩形

可证OF=OC

得∠OFC=∠OCF

∵∠PFC=90°

∴∠PFO+∠OFC=90°

∴∠PFO+∠OCF=90°

∵△APD≌△CPD

∴∠DAP=∠DCP

∴∠PFO+∠DAP=90°

∵四边形DANF内角和为360°

即∠DAN+∠ADF+∠NFP+∠PFD+∠ANF=360°

可证∠ANF=90°

∴AP⊥EF于N

考点：全等三角形的应用