Question

如图，AB是⊙O的直径，AC是弦．

（1）请你按下面步骤画图；

第一步，过点A作∠BAC的角平分线，交⊙O于点D；

第二步，过点D作AC的垂线，交AC的延长线点E．

第三步，连接BD．

（2）求证：AD²=AE?AB；

（3）连接EO，交AD于点F，若5AC=3AB，求的值．

Answer

（1）如图；

（2）先根据圆周角定理可得∠ADB=90°，再结合DE⊥AC，AD平分∠CAB，即可证得Rt△ADE∽Rt△ABD，根据相似三角形的性质即可得到结论；（3）

【解析】

试题分析：（1）根据角平分线与垂线的画法即可作出图形；

（2）先根据圆周角定理可得∠ADB=90°，再结合DE⊥AC，AD平分∠CAB，即可证得Rt△ADE∽Rt△ABD，根据相似三角形的性质即可得到结论；

（3）连OD、BC，它们交于点G，由5AC=3AB，可设AC=3x，AB=5x，根据圆周角定理可得∠ACB=90°，由∠CAD=∠DAB，可的弧DC=弧DB，即可得到OD∥AE，OG=AC=，从而证得四边形ECGD为矩形，可的CE=DG=OD-OG=x-x =x，则AE=AC+CE=3x+x=4x，根据AE∥OD，可得△AEF∽△DOF，根据相似三角形的性质即可求得结果.

（1）如图；

（2）∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

而DE⊥AC，

∴∠AED=90°，

∵AD平分∠CAB，

∴∠CAD=∠DAB，

∴Rt△ADE∽Rt△ABD，

∴AD：AB=AE：AD，

∴AD2=AE?AB；

（3）连OD、BC，它们交于点G，如图，

∵5AC=3AB，即AC：AB=3：5，

∴不妨设AC=3x，AB=5x，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

又∵∠CAD=∠DAB，

∴弧DC=弧DB，

∴OD垂直平分BC，

∴OD∥AE，OG=AC=，

∴四边形ECGD为矩形，

∴CE=DG=OD-OG=x-x =x，

∴AE=AC+CE=3x+x=4x，

∵AE∥OD，

∴△AEF∽△DOF，

∴AE：OD=EF：OF，

∴EF：OF=4x：x=8：5，

∴．

考点：基本作图，圆周角定理，矩形的性质，相似三角形的判定和性质