Question

正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF=45°.将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.

（1）求证：EF=FM；

（2）当AE=1时，求EF的长．

Answer

试题分析：（1）先根据旋转的性质得到DE=DM，∠EDM=90°，再结合∠EDF=45°可得∠FDM =∠EDM=45°，再有公共边DF即可证得△DEF≌△DMF，从而得到结论；（2）

【解析】

试题分析：（1）先根据旋转的性质结合正方形的得到DE=DM，∠EDM=90°，再结合∠EDF=45°可得∠FDM =∠EDM=45°，再有公共边DF即可证得△DEF≌△DMF，从而得到结论；  

（2）设EF="x" ，即可得到BF=BM-MF=BM-EF=4-x，在Rt△EBF中根据勾股定理即可列方程求解.

（1）∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM

∴DE=DM，∠EDM=90°

∴∠EDF +∠FDM=90°

∵∠EDF=45°

∴∠FDM =∠EDM=45°

∵DF=" DF"

∴△DEF≌△DMF

∴EF=MF；  

（2）设EF=x    

∵AE=CM=1      

∴BF=BM-MF=BM-EF=4-x 

∵EB=2

在Rt△EBF中，由勾股定理得

即

解得 

∴EF的长为.

考点：正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理