Question

如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD⊥AB，垂足为E，且PC=PE·PO .

（1）求证：PC是⊙O的切线；

（2）若OE:EA=1：2，PA=6，求⊙O的半径；

（3）在（2）问下，求的值。

Answer

（1）连接OC，根据PC2=PE?PO和∠P=∠P，可证得△PCO∽△PEC，即可证得∠PCO=∠PEC，再结合已知条件即可得出PC⊥OC，从而证得结论；（2）3；（3）

【解析】

试题分析：（1）根据和∠P=∠P，可证得△PCO∽△PEC，即可证得∠PCO=∠PEC，再结合已知条件即可得出PC⊥OC，从而证得结论；

（2）设OE=x，则AE=2x，根据切割线定理得，则，解一元二次方程即可求出x，从而得出⊙O的半径；

（3）连接BC，根据PC是⊙O的切线，得∠PCA=∠B，根据勾股定理可得出CE，BC，再由三角函数的定义即可求出结果．

（1）∵ 

∴

∵∠P=∠P

∴△PCO∽△PEC

∴∠PCO=∠PEC

∵CD⊥AB

∴∠PEC=90°

∴∠PCO=90°

∴PC是⊙O的切线；

（2）设OE=x

∵OE：EA=1：2

∴AE=2x

∵

∴

∵PA=6

∴（6+2x）（6+3x）=6（6+6x），

解得x=1

∴OA=3x=3

∴⊙O的半径为3；

（3）连接BC

∵

∴

∴

∴

∵PC是⊙O的切线

∴∠PCA=∠B

考点：切线的判定和性质，勾股定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义