Question

如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3cm，BC=7cm，∠B,P为下底BC边上一点（不与B、C重合），连结AP，过P点作PE交DC于E，使得∠APE=∠B.

(1)求证：△ABP∽△PCE；

(2)求腰AB的长；

(3)在底边BC上是否存在一点P，使得DE:EC=5:3.如果存在，求出BP的长；如果不存在，请说明理由。

Answer

（1）欲证△ABP∽△PCE，需找出两组对应角相等；由等腰梯形的性质可得出∠B=∠C，根据三角形外角的性质可证得∠EPC=∠BAP；由此得证；（2）AB=4cm；（3）BP=1cm或6cm

【解析】

试题分析：（1）欲证△ABP∽△PCE，需找出两组对应角相等；由等腰梯形的性质可得出∠B=∠C，根据三角形外角的性质可证得∠EPC=∠BAP；由此得证；

（2）可过作AF⊥BC于F，由等腰梯形的性质得到AF是BC、AD差的一半，在Rt△ABF中，根据∠B的度数及BF的长即可求得AB的值；

（3）在（2）中求得了AB的长，即可求出DE：EC=5：3时，DE、CE的值．设BP的长为x，进而可表示出PC的长，然后根据（1）的相似三角形，可得出关于AB、BP、PC、CE的比例关系式，由此可得出关于x的分式方程，若方程有解，则x的值即为BP的长．若方程无解，则说明不存在符合条件的P点．

（1）由∠APC为△ABP的外角得∠APC=∠B+∠BAP；

∵∠B=∠APE

∴∠EPC=∠BAP

∵∠B=∠C

∴△ABP∽△PCE；

（2）过A作AF⊥BC于F

∵等腰梯形ABCD中，AD=3cm，BC=7cm，

∴BF=2cm， 

Rt△ABF中，∠B=60°，BF=2；

∴AB=4cm；

（3）存在这样的点P．

∵DE：EC=5：3，DE+EC=DC=4

解之得EC=cm．

设BP=x，则PC=7-x

由△ABP∽△PCE可得

∵AB=4，PC=7-x，

解之得x1=1，x2=6，

经检验都符合题意，

即BP=1cm或BP=6cm．

考点：等腰梯形的性质，相似三角形的判定和性质