Question

已知关于的方程

（1）求证：无论取任何实数时，方程恒有实数根；

（2）若关于的二次函数的图象与轴两交点间的距离为2时，求抛物线的解析式.

Answer

（1）分与两种情况讨论，再结合一元二次方程的根的判别式即可判断；

（2）

【解析】

试题分析：（1）分与两种情况讨论，再结合一元二次方程的根的判别式即可判断；

（2）先求出二次函数的图象与轴的交点坐标，再根据两交点间的距离为2即可求得m的值，从而得到结果.

（1）分两种情况讨论：

当时，方程为，，方程有实数根

当，则一元二次方程的根的判别式

＝

不论为何实数，成立，即方程恒有实数根

综合、可知取任何实数，方程恒有实数根；

（2）设为抛物线与轴交点的横坐标.

则有， 

∴抛物线与轴交点的坐标为（2 ，0）、（ ，0）

∵抛物线与轴两交点间的距离为2

∴或 

∴或

∴所求抛物线的解析式为.

考点：一元二次方程的根的判别式，解一元二次方程.