Question

以平面上一点O为直角顶点，分别画出两个直角三角形，记作△AOB和△COD，其中∠ABO=∠DCO=30．

图1                         图2                     图3

（1）点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点，连接FM、EM．

①如图1，当点D、C分别在AO、BO的延长线上时，=_______；

②如图2，将图1中的△AOB绕点O沿顺时针方向旋转角（），其他条件不变，判断的值是否发生变化，并对你的结论进行证明；

（2）如图3，若BO=，点N在线段OD上，且NO=2.点P是线段AB上的一个动点，在将△AOB绕点O旋转的过程中，线段PN长度的最小值为_______，最大值为_______．

Answer

（1）= 的值不变。（2）PN的最大值为-2 最小值为3+2.

【解析】

试题分析：有题意可得△AOD∽△BOCD,即AD/BO=/3，又E F M分别是中点知，EF="1/2AD" ,FA="1/2" 根据三角形相似的性质，知相似比。由特殊角的三角函数，∠EMF=30°∴FM/EM=.的值不变，由于角的值不变。【解析】
（1）①；    1分

②结论：的值不变.   （阅卷说明：判断结论不设给分点）

证明：连接EF、AD、BC.（如图）

∵Rt△AOB中，∠AOB=90，∠ABO=30，

∴.

∵Rt△COD中，∠COD=90，∠DCO=30，

∴.

∴.

∵∠AOD=90+∠BOD，∠BOC=90+∠BOD，

∴∠AOD=∠BOC.

∴△AOD∽△BOC．  2分

∴，∠1=∠2.

∵点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点，

∴EF∥AD，FM∥CB，且，.

∴，  3分

∠3=∠ADC=∠1+∠6，∠4=∠5.

∵∠2+∠5+∠6=90，

∴∠1+∠4+∠6=90，即∠3+∠4=90.

∴∠EFM=90.    4分

∵在Rt△EFM中，∠EFM=90，，

∴∠EMF=30.

∴. 5分

（2）线段PN长度的最小值为，最大值为.    7分

阅卷说明：第（2）问每空1分.

考点：相似三角形的判定，直角三角形特殊角与边的关系，