Question

平面直角坐标系中，原点O是正三角形ABC外接圆的圆心，点A在轴的正半轴上，△ABC的边长为6．以原点O为旋转中心将△ABC沿逆时针方向旋转角，得到△，点、、分别为点A、B、C的对应点．

（1）当=60时，

①请在图1中画出△；

②若AB分别与、交于点D、E，则DE的长为_______；

（2）如图2，当⊥AB时，分别与AB、BC交于点F、G，则点的坐标为         _____，△FBG的周长为_____，△ABC与△重叠部分的面积为_______．

Answer

（1）由旋转角，对应点可画出图像，（2）DE="2" (3)A′(-,3) △FBG的周长6，重叠的面积27-9

【解析】

试题分析：（1）∵在平面直角坐标系XOY中，△ABC是⊙O的外接圆，经中心O旋转60°后，得到△A′B′C′把⊙0平均分成了六份，六个顶点能构成内接正六边形∴各边的交点又构成小的正六边形，∴AB与A′B′的交点为三等份的点，从而得到DE=×6=2，（2）∵点O是三角形四心重合的点，AB⊥A’B’.可得A’B’ ⊥x轴，在△ABC中可易求OA=2。∴OA’=2由O,A’与x 轴组成的三角形是特殊的三角形，即30°,60°90°∴A’(-,3) ∵BF=A’F, ∴△FBG的周长="AB的边长=6." （3）设BG为x,则FG为x,BF为2x. ∴x+x+2x="6" ∴x=(3-)∴ △ABC的面积-三倍△BFG的面积=重叠的面积=×6×3-×3×（3-）×（3-）=27-9.【解析】
（1）①如图所示.

……………………………………1分

②DE的长为 2 ；  ………………………………2分

（2）点的坐标为，△FBG的周长为  6 ，

△ABC与△重叠部分的面积为．

…………………………………5分

阅卷说明：第（2）问每空1分.

考点：等边三角形的内心定义，旋转图形的性质，三角形外接圆的性质，及直角三角形的性质。