Question

如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，∠COB=2∠PCB.

（1）求证：PC是⊙O的切线；

（2）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若MN  MC=8，求⊙O的直径.

Answer

（1）由题意得到半径OC⊥PC, ∴PC是⊙O的切线（2）AB=4

【解析】

试题分析（1）：因为同圆中半径相等，得到相等的角，直径所对的圆周角为90°，再由已知，经过等量代换，半径与直线垂直。（2）连接AM，BM.由题意易得△ANC∽△NMA,由已知一边的长为8，根据相似三角形的相似比求之。注意的是；相似比找准对应边。通过角找边容易。1）证明：∵OA=OC，

∴∠A=∠ACO . 

∴∠COB=2∠ACO .

又∵∠COB=2∠PCB，

∴∠ACO =∠PCB .  ........................................................ 1分

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACO +∠OCB="90" . 

∴∠PCB +∠OCB="90，" 即OC⊥CP. 

∵OC是⊙O的半径，

∴PC是⊙O的切线.  ………………………2分

（2）【解析】
连接MA、MB.（如图）

∵点M是弧AB的中点，

∴∠ACM=∠BAM. 

∵∠AMC=∠AMN，

∴△AMC∽△NMA .  …………………………3分

∴.

∴.

∵=8，

∴. ............................................................. 4分

∵AB是⊙O的直径，点M是弧AB的中点，

∴∠AMB=90，AM=BM=.

∴.   5分

考点：圆周角的性质，在同圆等中弧，弦，圆周角三者关系。相似三角形的判定条件及性质。