Question

已知：如图，把矩形OCBA放置于直角坐标系中，OC=3，BC=2，取AB的中点M，连结MC，把△MBC沿x轴的负方向平移OC的长度后得到△DAO.

（1）直接写出点D的坐标；

（2）已知点B与点D在经过原点的抛物线上，点P在第一象限内的该抛物线上移动，过点P作PQ⊥x轴于点Q，连结OP.

①若以O、P、Q为顶点的三角形与△DAO相似，试求出点P的坐标；

②试问在抛物线的对称轴上是否存在一点T，使得的值最大.若存在，求出T点坐标；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）；（2）① ，；②

【解析】

试题分析：（1）根据矩形及平移的性质即可得到结果；

（2）①由，可得点B的坐标，根据抛物线经过原点可设，再根据抛物线经过点与点可求得抛物线的解析式，则可设点再分∽与∽两种情况，根据相似三角形的性质即可求得结果；

②先求得抛物线的对称轴为直线，根据抛物线的对称性可得，则要使得的值最大，即是使得的值最大，根据三角形的三边关系可得当、、三点在同一直线上时，的值最大，根据待定系数法求得直线的解析式，即可求得结果.

（1）；

（2）① ∵，

∴

∵抛物线经过原点

∴设抛物线的解析式为

又抛物线经过点与点

∴，解得：

∴抛物线的解析式为

∵点在抛物线上

∴设点

1)若∽，则，

解得(舍去)，，

∴点.

2)若∽，则，，

解得(舍去)，，

∴点

②存在点，使得的值最大.

抛物线的对称轴为直线，设抛物线与轴的另一个交点为，则点.

∵点、点关于直线对称，

∴

要使得的值最大，即是使得的值最大，

根据三角形两边之差小于第三边可知，当、、三点在同一直线上时，的值最大.设过、两点的直线解析式为，

∴   解得：

∴直线的解析式为.

当时，.

∴存在一点使得最大.

考点：二次函数的综合题