Question

已知，如图①，∠MON=60°，点A、B为射线OM、ON上的动点（点A、B不与点O重合），且AB=，在∠MON的内部、△AOB的外部有一点P，且AP=BP，∠APB=120°.

 

（1）求AP的长；

（2）求证：点P在∠MON的平分线上；

（3）如图②，点C，D，E，F分别是四边形AOBP的边AO，OB，BP，PA的中点，连接CD，DE，EF，FC，OP.

①当AB⊥OP时，请直接写出四边形CDEF的周长；

②若四边形CDEF的周长用t表示，请直接写出t的取值范围．

Answer

（1）4；（2）过点P分别作PS⊥OM于点S， PT⊥ON于点T，根据四边形的内角和定理可得∠SPT的度数，即可得到∠APS=∠BPT，再结合∠ASP=∠BTP=90°，AP=BP，即可证得△APS≌△BPT，从而证得结论；（3）①8+4；②4+4＜t≤8+4

【解析】

试题分析：（1）过点P作PQ⊥AB于点Q，先根据等腰三角形的性质求得AQ的长，∠APQ的度数，在Rt△APQ中，根据∠APQ的正弦函数即可求得结果；

（2）过点P分别作PS⊥OM于点S， PT⊥ON于点T，根据四边形的内角和定理可得∠SPT的度数，即可得到∠APS=∠BPT，再结合∠ASP=∠BTP=90°，AP=BP，即可证得△APS≌△BPT，从而证得结论；

（3）根据三角形的中位线定理即可求得结果.

（1）过点P作PQ⊥AB于点Q 

∵PA=PB，∠APB=120°，AB=4，

∴AQ=AB=×4=2，∠APQ=∠APB=×120°=60°

在Rt△APQ中，sin∠APQ=

∴AP=＝4

（2）过点P分别作PS⊥OM于点S， PT⊥ON于点T

∴∠OSP=∠OTP=90°

在四边形OSPT中，∠SPT=360°-∠OSP-∠SOT-∠OTP=360°-90°-60°-90°=120°，

∴∠APB=∠SPT=120°

∴∠APS=∠BPT

又∵∠ASP=∠BTP=90°，AP=BP，

∴△APS≌△BPT

∴PS=PT

∴点P在∠MON的平分线上；

（3）①8+4 

②4+4＜t≤8+4.

考点：等腰三角形的性质，正弦函数，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理