Question

如图①，为⊙的直径，与⊙相切于点,与⊙相切于点，点为延长线上一点，且CE=CB．

 

(1)求证：为⊙的切线；

(2)如图②，连接AE,AE的延长线与BC的延长线交于点G．若，求线段BC和EG的长．

Answer

（1）连接OE、OC，先根据“SSS”证得△OBC≌△OEC，即得∠OBC=∠OEC，再结合DE为⊙O的切线即可证得结论；（2），

【解析】

试题分析：（1）连接OE、OC，先根据“SSS”证得△OBC≌△OEC，即得∠OBC=∠OEC，再结合DE为⊙O的切线即可证得结论；

（2）过点D作DF⊥BC于点F，先根据切线的性质可得DA=DE，CE=CB，设BC为，则CF=x-2，DC=x+2，在Rt△DFC中根据勾股定理即可列方程求得x的值，根据平行线的性质可得∠DAE=∠EGC，再根据等边对等角可得∠DAE=∠AED，即可得到∠ECG=∠CEG，从而可以求得BG的长，再根据勾股定理即可AG的长，然后证得△ADE∽△GCE，根据相似三角形的性质即可求得结果.

（1）连接OE、OC

∵CB=CE，OB=OE，OC=OC

∴△OBC≌△OEC

∴∠OBC=∠OEC

又∵DE与⊙O相切于点

∴∠OEC=90°

∴∠OBC=90°

∴BC为⊙的切线；

（2）过点D作DF⊥BC于点F，

∵AD、DC、BG分别切⊙O于点A、E、B

∴DA=DE，CE="CB"

设BC为，则CF=x-2，DC=x+2

在Rt△DFC中，

解得 

∵AD∥BG

∴∠DAE=∠EGC          

∵DA=DE

∴∠DAE=∠AED         

∵∠AED=∠CEG   

∴∠ECG=∠CEG

∴CG=CE=CB=

∴BG=5

∴ 

∵∠DAE=∠EGC，∠AED=∠CEG

∴△ADE∽△GCE

∴，即，解得.

考点：切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质