Question

如图，△ABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上，连结BD并延长与CE交于点E．

(1)求证：△ABD∽△CED；

(2)若AB＝6，AD＝2CD，求BE的长．

Answer

【解析】

试题分析：（1）先根据等边三角形的性质可得∠BAC＝∠ACB＝60°，∠ACF＝120°，再根据角平分线的性质可得∠ACE＝60°，再结合对顶角相等即可证得结论；

（2）作BM⊥AC于点M，则有AM＝CM＝3，BM＝AB·sin60°＝，再在Rt△BDM中，根据勾股定理求得BD的长，最后根据相似三角形的性质即可求得ED的长，从而求得结果.

（1）∵△ABC是等边三角形

∴∠BAC＝∠ACB＝60°．∠ACF＝120°

∵CE是外角平分线，

∴∠ACE＝60°

∴∠BAC＝∠ACE

又∵∠ADB＝∠CDE

∴△ABD∽△CED；

（2）作BM⊥AC于点M，AC＝AB＝6

∴AM＝CM＝3，BM＝AB·sin60°＝．

∵AD＝2CD，

∴CD＝2，AD＝4，MD＝1．

在Rt△BDM中，BD＝＝

由（1）△ABD∽△CED得，，

∴ED＝

∴BE＝BD＋ED＝．

考点：等边三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质