Question

已知：直线y=-2x-2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过点A、C、E，且点E（6，7）

（1）求抛物线的解析式.

（2）在直线AE的下方的抛物线取一点M使得构成的三角形AME的面积最大，请求出M点的坐标及△AME的最大面积.

（3）若抛物线与x轴另一交点为B点，点P在x轴上，点D（1，-3），以点P、B、D为顶点的三角形与△AEB相似，求点P的坐标．

Answer

（1） ；

（2）M（，），S△AME=

（3）（，0）

【解析】

试题分析：【解析】
（1）∵直线y=-2x-2与x轴交于点A，与y轴交于点C

∴A（-1，0）   C（0，-2）

设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c

∵抛物线经过点A、C、E

∴ ∴

36a+6b+c=7     c=-2

∴

（2）在抛物线上取一点M，作MN//y轴交AE于点N

设点M的横坐标为a，则纵坐标为 

∵ MN//y轴 

∴点N的横坐标为a

设AE的解析式y="k" x+ b，把A（-1，0）   E（6，7）代入y="k" x+ b中得

   解得：  ∴y=x+1

∵N在直线AE上，∴N(a ，a+1)           

∴MN= a+1-()= a+1-++2=-++3

∴MN==    a==

过点E作EH⊥x轴于点H

∴S△AME=，    M（，）

（3）过点E作EF⊥X轴于点F，过点D作DM⊥X轴于点M

∵A(一1，0)  B(4，0)   E（6，7）

∴AO="1" BO=4   FO=6  FE=7  AB=5

∴AF=FE=7   ∠EAB=45O  AE==

∵D (1，-3 )  ∴DM=3    OM=1   MB=3

∴DM=MB=3   ∴∠MBD=45O

∴∠EAB=∠MBD  BD==

过点D作∠=∠AEB交X轴于点

∴ΔABE∽BD

AE：B=AB:BD

 : ="5:"

=

=-OB=-4=

(-, 0)

过点D作∠=∠ABE交X轴于点

∴ΔABE∽Δ

∴DB：AE=：AB

：=：5

=

∴=4-=

（，0）

考点：待定系数法求函数解析式、二次函数与几何综合问题、三角形的相似.