Question

如图，已知等边三角形ABC,以边BC为直径的半圆与边AB、AC分别交于点D、点E，过点E作EF⊥AB，垂足为点F．

（1）判断EF与⊙O的位置关系，并证明你的结论；

（2）过点F作FH⊥BC，垂足为点H，若等边△ABC的边长为8，求FH的长．（结果保留根号）

Answer

(1)EF是⊙O的切线 (2) FH=BFsin60°=

【解析】

试题分析：.

【解析】
(1)EF是⊙O的切线.  

连接OE

∵△ABC是等边三角形，

∴∠B＝∠C＝∠A＝60°，

∵OE＝OC，

∴△OCE是等边三角形，

∴∠EOC＝∠B＝60°，

∴OE∥AB.

∵EF⊥AB，

∴EF⊥OE，

∴EF是⊙O的切线.

(2)∵OE∥AB，

∴OE是中位线.

∵AC＝8，

∴AE＝CE＝4.

∵∠A＝60°，EF⊥AB，

∴∠AEF＝30°，

∴AF＝2.  

∴BF＝6.

∵FH⊥BC，∠B＝60°，∴FH=BFsin60°=

考点：直线与圆之间的位置关系；圆的切线的性质与判定的应用；直角三角形中，边与角之间的关系