Question

 （9分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交BC、AC于D、E两点，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．

（1）求证：DF是⊙O的切线；

（2）若弧AE=弧DE，DF=2，求弧AD的长．

Answer

（1）见证明（2）

【解析】

试题分析：

（1）证明：连结OD--------------------1分

∵AB=AC，∴∠C=∠B.

∵OD=OB，∴∠B=∠1.

∴∠C=∠1.  --------------------2分

∴OD∥AC，∴∠2=∠FDO.-----------------3分

∵DF⊥AC，∴∠2=90°，∴∠FDO=90°，

即FD⊥OD且D点在⊙O 上

∴FD是圆O的切线. ------------------------------4分

（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°.

∵AC=AB，∴∠3=∠4-------------------------5分

∴，∵，∴----6分

∴∠B=2∠4，∴∠B=60°，∠5=120°，

∴△ABC是等边三角形, ∠C=60°. ------------7分

在Rt△CFD中, ∵∠C=60°，∴∠CDF=30°

∵DF="2" ∴CD=∴DB=，AB=BC=

∴AO=.----------------------------8分

∴.---

考点：本题考查了切线的性质和运用