Question

（本题满分14分 第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分）

已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝15， cos∠A＝．点M在AB边上，AM＝2MB，点P是边AC上的一个动点，设PA＝x．

（1）求底边BC的长；

（2）若点O是BC的中点，联接MP、MO、OP，设四边形AMOP的面积是y，求y关于x的函数关系式，并出写出x的取值范围；

（3）把△MPA沿着直线MP翻折后得到△MPN，是否可能使△MPN的一条边（折痕边PM除外）与AC垂直？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）BC＝3

（2）y ＝x＋． 0＜x≤15）

（3）x＝2或5或14时满足△MPN的一条边与AC垂直

【解析】

试题分析：【解析】
（1）作BH⊥AC于点H（如图一），

∵在Rt△ABH中，cos∠A＝，AB＝15，

∴AH＝12………………………………………………（1分）

∴BH＝9．………………………………………………（1分）

∵AC＝15

∴CH＝3．………………………………………………（1分）

∵BC2＝BH2＋CH2，∴BC2＝92＋32＝90，∴BC＝3．…（1分）

（2）作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F（如图一），

∵点O是BC的中点，∴OE＝OF＝BH＝．

∵AM＝2MB，AB＝AC＝15，∴AM＝10，BM＝5．

∵PA＝x，∴PC＝15－x，

∴y ＝ S△ABC－S△BOM－S△COP＝BH·AC―OE·BM―OF·PC

＝×9×15－－…………………（1+1分）

＝x＋．…………………………………（1分）

定义域：（0＜x≤15）．…………………………… （1分）

（3）①当PN⊥AC时（如图二），作MG⊥AC于点G，

∵在Rt△AMG中，cos∠A＝，AM＝10

∴AG＝8，∴MG＝6．

①若点P1在AG上，由折叠知：∠AP1M＝135°，∴∠MP1G＝45°．

∵MG⊥AC，∴P1G＝MG＝6，………（1分）∴AP1＝AG－P1G＝2．…………（1分）

②若点P2在CG上，由折叠知：∠AP2M＝45°．

∵MG⊥AC，∴P2G＝MG＝6，∴AP2＝AG＋P2G＝14．…………（2分）

③当MN⊥AC时（如图三），

由折叠知：∠AMP3＝∠NMP3，P3N3＝AP3＝x，MN3＝MA＝10，

∴P3G＝8－x，GN3＝4．

∵P3N32＝P3G2＋GN32，∴x2＝（8－x）2＋42，∴x＝5．……（2分）

综上所述，x＝2或5或14时满足△MPN的一条边与AC垂直．

考点：三角函数应用