Question

阅读下列解题过程：已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a²c²－b²c²=a⁴－b⁴，试判定△ABC的形状.

【解析】
∵a²c²－b²c²=a⁴－b⁴   ①

∴c²(a²－b²)=(a²+b²)(a²－b²)      ②

∴c²=a²+b²                        ③

∴△ABC是直角三角形

问：上述解题过程，从哪一步开始出现错误？

请写出该步的序号：_________；

错误的原因为_________；

本题正确的结论是_________.

Answer

③  a2－b2可以为零  △ABC为等腰三角形或直角三角形

【解析】

试题分析：由于②到③时等式两边都除以了a2-b2，如果a2-b2=0，根据等式的性质可知，此时不一定有③成立．

由a4+b2c2=b4+a2c2得：

a4-b4=a2c2-b2c2，

（a2+b2）（a2-b2）=c2（a2-b2），

∴（a2+b2）（a2-b2）-c2（a2-b2）=0，

∴（a2-b2）（a2+b2-c2）=0，

∴a2-b2=0或a2+b2-c2=0，

即a=b或c2=a2+b2，

∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．

考点：本题考查的是勾股定理的逆定理