Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数图象的顶点坐标为C（-4，），且在x轴上截得的线段AB的长为6.

（1）求二次函数的解析式；

（2）在y轴上确定一点M，使MA+MC的值最小，求出点M的坐标；

（3）在x轴下方的抛物线上，是否存在点N，使得以N、A、B三点为顶点的三角形与△ABC相似？如果存在，求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由.

Answer

（1）；（2）(0，)；（3）（2，）或（-10，)

【解析】

试题分析：（1）先由抛物线的顶点坐标得到抛物线的对称轴，再根据抛物线在x轴上截得的线段AB的长为6，即可得到A、B两点的坐标，从而求得结果；

（2）作点A关于轴的对称点，可得（1，0），连接C交轴于一点即点M，此时MC+MA的值最小，设直线C的解析式为(k≠0)，根据待定系数法求得函数关系式，即可得到结果；

（3）由（1）可知，C(－4，)，设对称轴交x轴于点D，分①AB=AN1=6，②AB=BN2，③N3A=N3B，三种情况讨论即可.

（1）∵抛物线的顶点坐标为， 

∴抛物线的对称轴为直线.

∵抛物线在x轴上截得的线段AB的长为6， 

∴A(-1，0)，B( -7，0)

设抛物线解析式为

∴

解得

∴二次函数的解析式为；

（2）作点A关于轴的对称点，可得（1，0），连接C交轴于一点即点M，此时MC+MA的值最小

由作法可知，MA=M

∴MC+MA=MC+M=C

∴当点M在线段C上时，MA+MC取得最小值

∴线段C与轴的交点即为所求点M

设直线C的解析式为(k≠0)

∴

解得

∴直线C的解析式为 

∴点M的坐标为(0，)；

（3）由（1）可知，C(－4，)，设对称轴交x轴于点D

∴AD=3

∴在Rt△ADC中，

∴∠CAD=30o

∵AC=BC

∴∠ABC=∠CAB=30o

∴∠ACB=120°

①如果AB=AN1=6，过N1作EN1⊥x轴于E

由△ABC∽△BAN1得∠BAN1=120o

则∠EAN1 = 60o

∴N1E=3，AE=3

∵A(-1，0)

∴OE=2

∵点N在x轴下方   

∴点N2(2，)

②如果AB=BN2，由对称性可知N2(-10，)

③如果N3A=N3B，那么点N必在线段AB的中垂线即抛物线的对称轴上，在x轴下方的抛物线上不存在这样的点N

经检验，点N1(2，)与N2(-10，)都在抛物线上

综上所述，存在这样的点N，使△NAB∽△ABC，点N的坐标为（2，）或（-10，).

考点：二次函数的综合题