Question

如图，在正方形ABCD中，AB=12，∠ECF=45°，点F在AB上，EF、CB的延长线交于点G，

                     

若EF=10，请问：

（1）EF、BF、ED之间满足的数量关系为___________________;

（2）S_△AEF+S_△BGF=_____________________.

Answer

（1）EF=ED+BF；（2）48或30

【解析】

试题分析：（1）把△BCF绕点C顺时针旋转90°到△DCH，根据正方形的性质结合∠ECF=45°可得△ECF≌△ECH，从而得到结果；

（2）设BF=DH=x，则ED=10-x，AF=12-x，则AE=12-（10-x）=2+x，在Rt△AEF中根据勾股定理列方程即可求得x的值，再证得△AEF∽△BGF，根据相似三角形的性质求得BG的长，再根据直角三角形的面积公式即可求得结果.

（1）把△BCF绕点C顺时针旋转90°到△DCH，

则CF=CG，∠BCF=∠DCH，BF=DH

∵正方形ABCD

∴∠BCD=90°

∵∠ECF=45°

∴∠BCF+∠ECD=45°

∴∠DCH+∠ECD=45°，即∠ECH=45°

在△ECF与△ECH中

CF=CG，∠ECF=∠ECH，CE=CE

∴△ECF≌△ECH

∴EF=EH=ED+DH=ED+BF；

（2）设BF=DH=x，则ED=10-x，AF=12-x，则AE=12-（10-x）=2+x，

在Rt△AEF中

解得

∵正方形ABCD

∴AD∥BC

∴△AEF∽△BGF

∴

当BF=DH=4时，AE=6，AF=8，解得BG=3

当BF=DH=6时，AE=8，AF=6，解得BG=8

∴

或

考点：正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质