Question

已知：△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，

（1）如图，E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF，求证：△DEF为等腰直角三角形；

（2）若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE＝AF，其他条件不变，那么，△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．

Answer

（1）连接AD，由AD是等腰直角三角形ABC底边上的中线，可得∠CAD=∠BAD=45°，AD=BD=CD，而即可得到∠B=∠DAF，再有BE=AF，AD=BD，即可证得△BED≌△AFD，从而得出DE=DF，∠BDE=∠ADF，从而得出∠EDF=90°，即可证得结论；（2）仍为等腰直角三角形

【解析】

试题分析：（1）连接AD，由AD是等腰直角三角形ABC底边上的中线，可得∠CAD=∠BAD=45°，AD=BD=CD，而即可得到∠B=∠DAF，再有BE=AF，AD=BD，即可证得△BED≌△AFD，从而得出DE=DF，∠BDE=∠ADF，从而得出∠EDF=90°，即可证得结论；

（2）先由∠DBE=180°-45°=135°，∠DAF=90°+45°=135°，可得∠DAF=∠DBE，再结合两组对边对应相等，即可证得△BED≌△AFD从而证得结论．

① 连结AD，

∵，∠BAC＝90°，为BC的中点

∴AD⊥BC，BD＝AD

∴∠B＝∠DAC＝45°

又∵BE＝AF

∴△BDE≌△ADF（SAS）

∴ED＝FD，∠BDE＝∠ADF

∴∠EDF＝∠EDA＋∠ADF＝∠EDA＋∠BDE＝∠BDA＝90°

∴△DEF为等腰直角三角形；

②若E，F分别是AB，CA延长线上的点，如图所示，连结AD 

∵AB＝AC，∠BAC＝90°，D为BC的中点

∴AD＝BD，AD⊥BC

∴∠DAC＝∠ABD＝45°

∴∠DAF＝∠DBE＝135°

又AF＝BE

∴△DAF≌△DBE（SAS）

∴FD＝ED，∠FDA＝∠EDB

∴∠EDF＝∠EDB＋∠FDB＝∠FDA＋∠FDB＝∠ADB＝90°

∴△DEF仍为等腰直角三角形.

考点：本题考查的是等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质