Question

如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，AD＝6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程的两个根，且OA＞OB.

（1）求OA、OB的长；

（2）若点E为x轴上的点，且S_△AOE＝，求经过D、E两点的直线解析式，并判断△AOE与△AOD是否相似；

（3）若点M在平面直角坐标系内，则在直线AB上是否存在点F，使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出F点的坐标，若不存在，请说明理由.

Answer

（1）OA＝4，OB＝3；（2）或，相似；

（3）（-3，0），（3，8），（，），（，）

【解析】

试题分析：（1）求出一元二次方程的两个根，再结合OA＞OB即可得到结果；

（2）先根据三角形的面积求出点E的坐标，并根据平行四边形的对边相等的性质求出点D的坐标，然后利用待定系数法求得直线的解析式；分别求出两三角形夹直角的两对应边的比，如果相等，则两三角形相似，否则不相似；

（3）根据菱形的性质，分AC与AF是邻边并且点F在射线AB上与射线BA上两种情况，以及AC与AF分别是对角线的情况分别进行求解计算．

（1）解一元二次方程得，

∵OA＞OB

∴OA＝4，OB＝3；

（2）设E（x，0），由题意得

解得

∴E（，0）或（，0），

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴点D的坐标是（6，4）

设经过D、E两点的直线的解析式为

若图象过点（，0），（6，4）

则，解得

此时函数解析式为

若图象过点（，0），（6，4）

则，解得

此时函数解析式为

在△AOE与△DAO中，

，

又∵∠AOE=∠OAD=90°

∴△AOE∽△DAO；

（3）∵OB=OC=3，

∴AO平分∠BAC，

①AC、AF是邻边，点F在射线AB上时，AF=AC=5，

所以点F与B重合，

即F（-3，0）；

②AC、AF是邻边，点F在射线BA上时，M应在直线AD上，且FC垂直平分AM，

点F（3，8）；

③AC是对角线时，作AC垂直平分线L，AC解析式为，

则直线L过（，2），且k值为（平面内互相垂直的两条直线k值乘积为-1），

∴L解析式为，联立直线L与直线AB求交点，

∴F（，）；

④AF是对角线时，过C做AB垂线，垂足为N，根据等积法求出，勾股定理得

做A关于N的对称点即为F，，

过F做y轴垂线，垂足为G，

∴F（，）；

综上所述，满足条件的点有四个：（-3，0），（3，8），（，），（，）.

考点：本题考查了解一元二次方程，相似三角形的性质与判定，待定系数法求函数解析式