Question

已知：在△中，，，于，于点，、相交于.

（1）求的度数；

（2）求证：△≌△；

（3）探究与的数量关系，并给予证明.

Answer

（1）45°；

（2）∵在△EBC中，∠ECB=∠ABC

∴EB=EC

∵在△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E

∴∠BEC=∠BDC= 90°

∴∠A+∠ACE=∠A+∠ABD=90°

∴∠ACE=∠ABD

在△BEF与△CEA中

∴△BEF≌△CEA；

（3）BF=2CD

【解析】

试题分析：（1）由CE⊥AB于E，∠ABC=45°，根据三角形的内角和为180°即可求得结果；

（2）先根据等角对等边可得EB=EC，再根据同角的余角相等可得∠ACE=∠ABD，再有CE⊥AB即得结论；

（3）由AB=CB，BD⊥AC于D，根据等腰三角形的三线合一的性质可得AC=2CD ，再结合△BEF≌△CEA根据全等三角形的性质即可得到结果.

（1）∵在△ABC中，CE⊥AB于E

∴∠AEC=90°

又∵∠AEC=∠ABC+∠ECB，∠ABC=45°

∴∠ECB=∠AEC∠ABC= 90°45°= 45°；

（2）∵在△EBC中，∠ECB=∠ABC

∴EB=EC

∵在△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E

∴∠BEC=∠BDC= 90°

∴∠A+∠ACE=∠A+∠ABD=90°

∴∠ACE=∠ABD

在△BEF与△CEA中

∴△BEF≌△CEA；

（3）∵在△ABC中，AB=CB，BD⊥AC于D，

∴AC=2CD

∵△BEF≌△CEA

∴BF=AC

∴BF=2CD.

考点：本题考查的是全等三角形的判定和性质