Question

等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，点A、点B分别是x轴、y轴两个动点，直角边AC交x轴于点D，斜边BC交y轴于点E。

（1）如图（1），若A(0，1)，B(2，0)，求C点的坐标；

（2）如图（2）， 当等腰Rt△ABC运动到使点D恰为AC中点时，连接DE，求证：∠ADB=∠CDE；

（3）如图（3），在等腰Rt△ABC不断运动的过程中，若满足BD始终是∠ABC的平分线，试探究：线段OA、OD、BD三者之间是否存在某一固定的数量关系，并说明理由。

Answer

（1）C(－1，－1)；（2）见解析；（3）BD=2(OA +OD)

【解析】

试题分析：（1）过点C作CF⊥y轴于点F，则△ACF≌△ABO(AAS)，即得CF=OA=1，AF=OB=2，

从而求得结果；

（2）过点C作CG⊥AC交y轴于点G，则△ACG≌△ABD(ASA)，即得CG=AD=CD，∠ADB=∠G， 由∠DCE=∠GCE=45°，可证△DCE≌△GCE(SAS)得∠CDE=∠G，从而得到结论；

(3)在OB上截取OH=OD，连接AH，由对称性得AD=AH, ∠ADH=∠AHD，可得∠AHD=∠ADH=∠BAO=∠BEO，即得∠AEC=∠BHA，从而证得△ACE≌△BAH(AAS)，即可得到   AE=BH=2OA，从而得到结果.

（1）如图，过点C作CF⊥y轴于点F

则△ACF≌△ABO(AAS)，

∴CF=OA=1，AF=OB=2

∴OF=1

∴C(－1，－1)；

（2）如图，过点C作CG⊥AC交y轴于点G

则△ACG≌△ABD(ASA)

∴CG=AD=CD，∠ADB=∠G

∵∠DCE=∠GCE=45°

∴△DCE≌△GCE(SAS)

∴∠CDE=∠G

∴∠ADB=∠CDE；  

 (3) 如图，在OB上截取OH=OD，连接AH

由对称性得AD=AH, ∠ADH=∠AHD

∴∠AHD=∠ADH=∠BAO=∠BEO

∴∠AEC=∠BHA    

又∵AB=AC  ∠CAE=∠ABH

∴△ACE≌△BAH(AAS)   

∴AE=BH=2OA        

∵DH=2OD

∴BD=2(OA +OD)

考点：本题考查的是全等三角形的判定和性质