Question

（本题12分）如图，二次函数的图象与x轴交于两个不同的点A（－2，0）、B（4，0），与y轴交于点C（0，3），连结BC、AC，该二次函数图象的对称轴与x轴相交于点D．

（1）求这个二次函数的解析式、点D的坐标及直线BC的函数解析式；

（2）点Q在线段BC上，使得以点Q、D、B为顶点的三角形与△相似，求出点Q的坐标；

（3）在（2）的条件下，若存在点Q，请任选一个Q点求出△外接圆圆心的坐标．

Answer

（1）D（1，0）（2）Q（2，）或（，）（3）M（，）

【解析】

试题分析：【解析】
（1）由题意，设二次函数为

把点C（0，3）代入得：

所以这个二次函数的解析式是 ……2分

因为，所以抛物线的对称轴是直线，点D的坐标为（1，0）． …………1分

由待定系数法得直线BC的解析式为． ………… 1分

（2）因为A（－2，0），B（4，0），C（0，3），D（1，0）．

所以OD=1，BD=3，CO=3，BO=4，AB=6，BC==5.

①  如图1，当时，,即,得.

过点Q作轴于点H，则QH∥CO.所以.解得.

把代入，得．

所以，此时，点Q的坐标为（2，）． ………… 2分

②如图2，当时，,即,得．

过点Q作轴于点G，则QG∥CO.所以.解得．

把代入，得．

所以，此时，点Q的坐标为（，）．…………2分

综上所述，点Q坐标为（2，）或（，）．

（3）当点Q的坐标为（2，）时，设圆心的M（，）．

由MD=MQ，得.

解得，则M（，）． ………… 4分

考点：本题考查了二次函数的性质