Question

（本题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，以点C（1，1）为圆心，2为半径作圆，交x轴于A，B两点，开口向下的抛物线经过点A，B，且其顶点P在⊙C上．

（1）求∠ACB的大小；

（2）写出A，B两点的坐标；

（3）试确定此抛物线的解析式；

（4）在该抛物线上是否存在一点D，使线段OP与CD互相平分？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）120°

（2）A(1-，0 )   B（1+，0）

（3）  

（4）点D在抛物线上    所以存在D（0，2）使线段OP与CD互相平分

【解析】

试题分析：（1）

【解析】
过点作CM⊥AB，得CM=1，

∵AC=2，∴∠CAB=30°，∴∠ACB=120°     （2分）

（2）∵CM=1，AC=2，∴AM=

∴A(1-，0 )   B（1+，0）         （2分）

（3）

【解析】
由题可得该抛物线的对称轴为  直线x=1，PM=3

∴顶点坐标为（1,3）                (1分)

设

经过点A(1-，0 )  ，得 0=3a+3

∴a=-1    ∴       （2分）

（4）【解析】
存在    （1分）

假设存在点D使线段OP与CD互相平分，则四边形OCPD是平行四边形

∴PC//OD且PC=OD．

∵PC//y轴，∴点D在y轴上．

又∵PC=2，∴OD=2，即D（0，2）．     （2分）

又D（0，2）满足

∴点D在抛物线上    所以存在D（0，2）使线段OP与CD互相平分．  （2分）

考点：本题考查了待定系数法求解二次函数