Question

如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD与Q，PQ=4，PE=1．

(1)求证：△ABE≌△CAD；

(2)求证：∠BPQ=60°；

(3)求AD的长．

Answer

（1）（2）见解析；（3）9

【解析】

试题分析：（1）由于△ABC是等边三角形，那么有AB=AC，∠BAE=∠ACD=60°，而AE=CD，利用SAS可证△BAE≌△ACD；

（2）由△BAE≌△ACD可得∠1=∠2，根据∠BAE=∠1+∠BAD=60°，等量代换则有∠2+∠BAD=60°，再利用三角形外角性质可得∠BPQ=60°；

（3）在Rt△BPQ，易求∠PBQ=30°，于是可求得BP，从而可求得BE，而△BAE≌△ACD，即可得到结果．

（1）∵△ABC是等边三角形，

∴AB=AC，∠BAE=∠ACD=60°，

又∵AE=CD，

∴△BAE≌△ACD，

(2) 如图所示：

∵△BAE≌△ACD，

∴∠1=∠2，

∵∠BAE=∠1+∠BAD=60°，

∴∠BAE=∠2+∠BAD=60°，

∴∠BPQ=60°；

（3）∵BQ⊥AD，

∴∠BQP=90°，

又∵∠BPQ=60°，

∴∠PBQ=30°，

∴BP=2PQ=2×4=8，

∴BE=BP+PE=8+1=9，

由（1）知△BAE≌△ACD，

∴AD=BE=9．

考点：本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含有30°的直角三角形的性质