Question

如图，在直角坐标系中，点A（0，4），B（-3，4），C（-6，0），动点P从点A出发以1个单位/秒的速度在y轴上向下运动，动点Q同时从点C出发以2个单位/秒的速度在x轴上向右运动，过点P作PD⊥y轴，交OB于D，连接DQ．当点P与点O重合时，两动点均停止运动．设运动的时间为t秒．

（1）当t=1时，求线段DP的长；

（2）连接CD，设△CDQ的面积为S，求S关于t的函数解析式，并求出S的最大值；

（3）运动过程中是否存在某一时刻，使△ODQ与△ABC相似？若存在，请求出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）；（2）S=，当时，S最大值=4；（3）和

【解析】

试题分析：（1）先由题意得到OA=4，AB=3，CO=6，再求出当t=1时，AP、OP的长，最后根据PD⊥y轴，AB⊥y轴，结合平行线分线段成比例即可列比例式求解；

（2）作DE⊥CO于点E，分别用含t的字母表示出CQ、AP、OP，即可表示出DE的长，再根据三角形的面积公式即可得到S关于t的函数解析式，根据二次函数的性质即可求得S的最大值；

（3）分和两种情况，结合相似三角形的判定方法讨论即可.

（1）由A（0，4），B（-3，4），C（-6，0）可知OA=4，AB=3，CO=6，

当t=1时，AP=1，则OP=3，

∵PD⊥y轴，AB⊥y轴

∴PD∥AB

∴ 

∴ 

解得DP=；

（2）CQ=2t，AP=t，OP=4–t

作DE⊥CO于点E，则DE=OP=4–t   

∴S==×2t×(4–t)=   

当时，S最大值=4

（3）分两种情况讨论：

①当时，点Q在CO上运动（当t=3时，△ODQ不存在）

∵AB∥CO 

∴∠BOC=∠ABO<∠ABC

可证得BO=BC

∴∠BOC=∠BCO>∠BCA

∵AB∥CO

∴∠BAC=∠ACO<∠BCO=∠BOC

∴当时，△ODQ与△ABC不可能相似。

②当时，点Q在x轴正半轴上运动，

延长AB，由AB∥CO可得∠FBC=∠BCO=∠BOC，

∴∠ABC=∠DOQ

OQ=，由DP∥AB可得OD=

当时，

 ，在内；

当时，

，在内；

∴存在和，使△ODQ与△ABC相似。

考点：本题考查的是二次函数的最值，平行线分线段成比例，相似三角形的判定