Question

如图， 等边⊿ABC，点D、E分别在BC、AC上，且BD=CE，AD与BE相交于点F，

（1）试说明⊿ABD≌⊿BCE；

（2）⊿AEF与⊿ABE相似吗?说说你的理由；

（3）BD²=AD·DF吗?请说明理由．

Answer

（1）见解析；（2）相似；（3）BD2=AD·DF

【解析】

试题分析：（1）根据等边三角形的性质，可得AB=BC，∠ABC=∠C=∠BAC=60°，即可证明△ABD≌△BEC，即可以求得∠AFE=∠1+∠3=60°；

（2）根据∠AEF=∠AEB，∠AFE=∠BAE=60°，即可证明△AEF∽△ABE；

（3）易证△ABD∽△BFD，即可根据对应边成比例证得结论。

（1）∵⊿ABC为等边⊿                                                                               

∴AB=BC，∠ABC=∠BCE  

∵BD=CE

∴⊿ABD≌⊿BCE                       

 (2) ∵ ⊿ABD≌⊿BCE

∴∠BAD=∠EBC

∵∠BAC=∠ABC

∴∠ABE=∠EAF 

∵∠AEF=∠BEA  

∴⊿AEF与⊿ABE相似                   

 (3) ∵⊿ABD≌⊿BCE

∴∠BAD=∠EBC

∵∠BDF=∠ADB

∴⊿BDF∽⊿ADB

∴=

∴ BD2=AD·DF

考点：本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质