Question

如图，直线AC∥BD，连结AB，直线AB、BD、AC把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分.当动点P落在某个部分时，连结PA、PB构成∠PAC、∠APB、∠PBD三个角。（提示：有公共端点的两条重合的射线组成的角是0度角.）

（1）当动点P落在第①部分时，试说明∠APB＝∠PAC＋∠PBD；

（2）当动点P落在第②部分时，∠APB＝∠PAC＋∠PBD是否成立？（直接回答成立或不成立）

（3）当动点P落在第③、④部分时，全面探究∠APB、∠PAC、∠PBD之间的数量关系，并画出相应的图形、写出相应的结论.请选择一种结论加以说明.

Answer

（1） 作PQ∥AC，则 PQ∥AC ∥BD. ∴∠APQ﹦∠CAP ，∠BPQ﹦∠DPB

  ∴∠APB﹦∠APQ+ ∠BPQ﹦∠PAC+ ∠PBD.  …4分

（也可延长AP或BP求证）

（2）不成立. …6分 

（3）点P落在第③部分时，

∠APB﹦∠PBD－∠PAC.  …9分

点P落在第④部分时，

∠APB﹦∠PAC－ ∠PBD.  …10分

  选其中一个证明（正确给2分）…10分

【解析】（1）过点P作AC的平行线，根据平行线的性质将∠PAC，∠PBD等量转化，证出结论．

（2）过点P作AC的平行线PQ，∠APB=∠APQ+∠QPB，∠PAC与∠APQ是一对同旁内角，∠QPB与∠PBD也是一对同旁内角，根据两直线平行，同旁内角互补，发现三个角的和是360度．

（3）分点P在直线AB的左侧与右侧两种情况，分别过点P向右作PQ∥AC，根据平行公理可得PQ∥BD，然后根据两直线平行，同旁内角互补用∠PAC表示出∠APQ，用∠PBD表示出∠BPQ，然后结合图形整理即可得解．点P落在第④部分时，证法同上